Matriks dan Pengaplikasian pada penyelesaian SPL

Matriks dan Pengaplikasian pada Penyelesaian SPL

Pendahuluan

Matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.

M = baris

N = kolom

Cth :

• ·       Diagonal utama dan sekunder pada matriks

Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal istilah diagonal. Ada dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring 

yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar berikut:

Jenis – jenis matriks berdasarkan banyaknya baris dan kolom

1.       Matriks persegi

Matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau
5x5. Sehingga ordonya dilambangkan n x n.

2.       Matriks baris

Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 6, dsb.

3.       Matriks kolom

Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 5 x 1, dsb.

4.     Matriks mendatar

Adalah matriks yang memiliki jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dsb.

5.     Matriks tegak

Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya. Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dsb.

• Jenis matriks berdasarkan pada pola elemennya1  Matriks nol

            1.     Matriks nol

            Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

2          2.     Matriks Diagonal

           Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

3          3.     Matriks Identitas

             Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

             4.  Matriks segitiga atas

            Adalah matriks yang keseluruhan nilai dibawah diagonal utamanya adalah nol.

2           5.  Matriks segitiga bawah

           Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas              diagonal utamanya bernilai nol.

3           6.  Matriks simetris 

            Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan dibawah doagonal                     utamanya  memiliki susunan nilai yang sama.

4           7.  Matriks skalar

            Adalah matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen                 yang lain nilainya adalah nol.

1            8.  Matriks transpose

              Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris                 atau sebaliknya.

              Contoh:

            

               9.  Determinan suatu matriks

              Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara:

1.       Matriks berordo 2x2

2.     Metode sarrus

                   3.   Metode ekspansi baris dan kolom

10. Matriks Singular 

 Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

  11. Invers Matriks

sifat-sifat dari invers suatu matriks:

operasi matriks invers:

12. Operasi dasar matriks:

Pengaplikasian Matriks

·       Mengubah SPL menjadi matriks

Kita bisa menggunakan matriks untuk menyelesaikan persoalan SPL,

Pertama-tama kita ubah dahulu SPL nya menjadi bentuk persamaan matriks, setelah itu baru menerapkan konsep matriks yaitu invers dan determinan.

Sistem persamaan dua variabel x dan y:

Sistem persamaan tiga variabel x, y, dan z:

Ø  Penerapan invers pada SPL

Kita menerapkan sifat invers yaitu:

Contoh:

1)      Tentukan nilai x dan y  yang memenuhi Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan menggunakan konsep invers matriks 

Penyelesaian:

1.       Ubah dahulu SPL menjadi persamaan matriks

2.       Menentukan matriks B

Jadi, solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) nya adalah, x = 1 dan y = -1

Ø  Penerapan determinan pada SPL

Metode ini sering kali disebut sebagai metode ‘Cramer’

Sistem persamaan dua variabel x dan y 

contoh:

1.       Tentukan nilai x dan y yang memenughi sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan konsep determinan matriks (cara cramer).

Jadi, solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) nya adalah, x = 1 dan y = -1.